Rentsch wurde 1908 in Zwickau geboren. Nach Schulabschluss studierte er Jura. Er trat 1931 in die NSDAP und 1932 in die SA ein. Nach dem Abschluss des Studiums war er kurz beim Arbeitsamt tätig und startete 1934 eine Kariere in der Gestapo in Sachsen. 1935 trat Rentsch der SS bei. Ab März 1939 leitete er die Gestapo in Reichenberg und wurde drei Monaten später nach Saarbrücken versetzt, wo er die gleiche Position einnahm.

Es folgte die Ernennung zum Gestapoleiter von Hannover. In dieser Position war er vom Dezember 1943 bis zum Kriegsende für fünf Deportationen aus Hannover nach Theresienstadt verantwortlich. Am Kriegsende wurden auf seinen Befehl hin 154 Zwangsarbeiter, überwiegend Kriegsgefangene, am Seelhorster Friedhof ermordet.

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